Co ma Piernik do wiatraka? - Można pomyśleć patrząc na tytułowy obrazek tego mini artykułu. Z jednej strony mamy ściśle określoną (chyba najsłynniejszą) stałą matematyczną Pi, a z drugiej - przypadkowe wyniki losowań. Czy te odmienne światy jakoś się łączą?

Oto przepis na szybką odpowiedź: 

1. Bierzemy kwadrat i wpisujemy w niego koło.
2. Teraz wybieramy losowo 10 punktów z kwadratu i notujemy ile z nich wpadło w obszar koła (kolorujemy je np. na czerwono).
3. Mnożymy przez 4 liczbę punktów z koła i dzielimy wynik przez ilość losowanych punktów (w tym przypadku 10) - zapisujemy otrzymaną w ten sposób wartość.
4. Powtarzamy to dla coraz to większych ilości losowanych punktów - poniżej przykładowa sekwencja wyników:

4*9/10=3.6

4*39/50=3.12

4*77/100=3.08

4*791/1000=3.164

4*7852/10000=3.1408

4*39250/50000=3.14

Wygląda na to, że podkreślone liczby w jakiś 'magiczny' sposób przybliżają wartość Pi. Przy czym przybliżenie to jest często tym lepsze im większa jest liczba losowań - dla 10 mln prób otrzymałem : 3.141546 (dokładna wartość pi to 3.141592654...). Podkreśliłem słowo 'często', ponieważ już dla następnej próby dostałem mniej dokładny wynik: 3,1421384 - taki rozrzut wyników spowodowany jest losowym charakterem zjawiska.
Coś nam podpowiada , że powinniśmy spodziewać się poprawy dokładności wraz ze zwiększaniem ilości losowanych punktów, a utwierdza nas w tym przekonaniu poniższy wykres:

Tym, którzy dotarli to tego miejsca należy się wyjaśnienie 'magicznej' formuły z początku artykułu: 
...Mnożymy przez 4 liczbę punktów z koła i dzielimy wynik przez ilość losowanych punktów ... 
Podobnie jak sztuczki iluzjonistów, tak i tu wyjaśnienie oparte jest na racjonalnych podstawach, a ponieważ nie ma chyba bardziej racjonalnej dziedziny wiedzy od matematyki, więc posłużymy się nią i w naszym przypadku:
Niech w kwadrat o boku a będzie wpisane koło :

Pole kwadratu wynosi

a pole koła:

Stosunek pola kwadratu do pola koła wynosi więc:

Przekształćmy to równanie tak, żeby z lewej strony znajdowała się liczba PI:

Oto przed nami coś, co przypomina cytowaną wyżej regułkę "4 razy ...", tylko, że nie ma tu mowy o żadnych losowych punktach, a zamiast tego jest stosunek pól figur. 
Spójrzmy w tym momencie jeszcze raz na sekwencję coraz gęściej zapełnionych punktami obrazków powyżej:
przy małej ilości punktów niewiele widać, ale już przy 10000, czy tym bardziej 50000 próbach punkty czerwone dość dokładnie "przykrywają" koło wpisane w kwadrat "tworzony" z kolei przez wszystkie punkty (oczywiście "przykrywają" to artystyczne określenie, ponieważ w rzeczywistości figury składają się z nieskończonej ilości punktów).
Zatem można powiedzieć, że w pewnym sensie punkty czerwone reprezentują powierzchnię koła i analogicznie wszystkie (czarne i czerwone) wyrażają pole kwadratu. Teraz już jaśniejsze powinno być to, że 

potrzebny nam do obliczenia pi, stosunek pól figur możemy znaleźć poprzez podzielenie ilości punktów czerwonych przez liczbę punktów całego kwadratu

Przybliżenie to będzie tym lepsze im większą liczbą punktów wypełnimy kwadrat.

Przedstawiony powyżej sposób postępowania do obliczania przybliżonej wartości pi zwany jest metodą Monte Carlo .

Dla tych, którzy chcieliby się naocznie przekonać o skuteczności metody załączam prosty program (obrazek poniżej) oraz paczkę z projektem c# w Visual Studio 2008. Do oszacowania pi losuje on punkty z ćwiartki kwadratu - w dalszym ciągu prawdziwe jest to, co wyżej napisałem o stosunkach ilości odpowiednich punktów. 
W kodzie korzystam ze skalowania, które opisałem w tym artykule. 

Dodaj komentarz:
Autor:*

WWW:

Treść:*

Wprowadź kod zabezpieczający*:


        * - pola wymagane

• Atraktor Lorenza
• O związku motyli z pogodą...
• Nie taki dialog straszny, czyli kilka słów o okienkach dialogowych
• Android - dostosowanie paska tytułowego
• Równoległy może więcej(?) - czyli kilka słów o Parallel.For

• 2012-01-02 09:38:09
  Szanowny Anonimie - może jakieś uzasadnienie? W tym mini-arcie chodziło tylko o zabawę. Nie ukrywam, że nie ja wymyśliłem IFS, a i współczynniki są dostępne powszechnie. Pozdrawiam kuba@leniwce.com
• 2011-12-21 15:01:26
  Jest mi bardzo przkro , gdyz jest to PIRACTWO....
• 2011-11-01 22:30:51
  :)
• 2011-09-27 12:00:59
  Wspomniane w tym artykule zjawisko nowi nazwę "Efekt motyla" i jest ściśle związane z teorią chaosu ;) Według niej, niektórych rzeczy nigdy nie będzie w stanie przewidzieć - niezależnie od szybkości procesorów i technologii :)
• 2011-08-27 15:55:20
  Zgadzam się. Wyraźnie tego nie napisałem, ale przedstawione działanie excela jest w tym sensie jak najbardziej poprawne, i nie może być mowy o błędnym działaniu. Inną kwestią jest świadomość użytkownika, skąd biorą się takie, a nie inne wyniki obliczeń. Artykułem chciałem właśnie zwrócić uwagę na to, że kłopoty z numerycznymi prognozami biorą się z niejako naturalnych zjawisk (punkty 1-3).